Qui dit mois de juin, dit Roland Garros. Si tout le monde dans l’open space se met subitement à vouloir un second écran externe pour bosser, c’est pas pour être plus productif…C’est pour pouvoir mater les matchs en direct sur un écran tout en faisant semblant de travailler sur l’autre.

Ceci étant dit, ce tournoi de tennis me permet aussi de vous parler de physique, et plus précisément de cinématique du point. L’idée, c’est de déterminer la position de la balle en fonction du temps, quand un joueur fait son service. Pour cela, il faut trouver ce qu’on appelle les équations horaires de la balle, x(t) et y(t).
Ce sont des fonctions qui donnent respectivement la position de la balle sur l’axe x et sur l’axe y, en fonction du temps t. On pourra donc calculer la position et la hauteur de la balle sur sa trajectoire à n’importe quel moment (en supposant qu’on connaisse la vitesse initiale de la balle).

Elliot, tennisman de renom

Imaginons Elliot qui sort son plus beau service, le service à la cuillère. Pour pouvoir étudier la trajectoire de la balle, il faut d’abord définir un référentiel, car un objet est toujours en mouvement par rapport à un autre. Nous utiliserons donc le référentiel terrestre, autrement dit la Terre. Nous allons supposer que ce référentiel est galiléen, c’est à dire un référentiel dans lequel le mouvement naturel d’un corps est dit rectiligne uniforme :

  • Rectiligne: si on fait rouler la balle au sol, elle file tout droit.
  • Uniforme: la vitesse de la balle ne diminue pas (si on néglige les frottements).

Maintenant que nous avons défini le référentiel, il faut définir les conditions initiales de notre système. Voici un schéma des conditions initiales :

La balle de tennis aux conditions initiales

xOy est le plan dans lequel se trouve la trajectoire de la balle
B est le centre de gravité de la balle de tennis, situé en son centre.
h est la hauteur entre la balle et le sol, au moment où la raquette de tennis frappe la balle.
α est l’angle en degrés de la trajectoire de la balle par rapport au sol.
\vec{v_0} est le vecteur vitesse qui nous donne la vitesse, la direction et le sens de la balle.

pour rappel, un vecteur c’est un outil mathématique qui est défini par 3 propriétés :

  • La direction du vecteur (l’orientation de la flèche bleue par rapport au sol)
  • Le sens du vecteur (de quel coté du vecteur est la pointe de la flèche bleue)
  • La norme du vecteur, c’est à dire sa longueur (notée v_0, à ne pas confondre avec le vecteur noté \vec{v_0} )

Aux conditions initiales le temps t vaut 0 seconde (t = 0s).
La trajectoire de la balle n’est pas dessinée, mais on devine facilement que c’est une parabole.

Et maintenant, qu’est-ce qu’on fait ?
N’oublions pas notre objectif : déterminer des équations donnent la position de la balle sur les axes x et y en fonction du temps t.
On pourrait donc commencer par essayer de déterminer la vitesse de la balle sur ces axes.
Autrement dit, de combien de mètres la balle avance sur l’axe horizontal et de combien de mètres la balle se déplace sur l’axe vertical (et vers le ciel ou vers le sol) ?

Les coordonnées du vecteur vitesse

Pour répondre à ces questions, il faut déterminer ce qu l’on appelle les coordonnées du vecteur vitesse, c’est à dire la valeur du vecteur sur les axes de notre système.
Cela revient à calculer les projetés du vecteur \vec{v_0} sur les axes, autrement dit la longueur du vecteur sur x et sur y :

Projetés du vecteur vitesse

Il faut donc calculer v_{0x} et v_{0y}, qui représentent respectivement la longueur de v_{0} sur x et sur y.
On peut voir sur le schéma ci-dessus deux triangles rectangles apparaître, qui ont pour hypoténuse la norme du vecteur Vitesse (rappelez vous, la norme d’un vecteur c’est sa longueur, notée v_{0}, sans la flèche au dessus).

Avec des triangles rectangles, tout est plus simple ! Un peu de trigonométrie (niveau troisième les gars), et on aura les valeurs de v_{0x} et v_{0y} :

\cos(\alpha)=\dfrac{v_{0x}}{v_0} \textrm{, donc } v_{0x} = {v_0}.\cos(\alpha) \sin(\alpha)=\dfrac{v_{0y}}{v_0} \textrm{, donc } v_{0y} = {v_0}.\sin(\alpha)

Et voilà ! On vient de calculer les coordonnées du vecteur vitesse ! Tout du moins au départ de la trajectoire, à t = 0…Mais ces coordonnées vont peut-être évoluer au cours du temps ? Quoi qu’il en soit, à t = 0 on les connaît, et on les note comme ceci:

\vec{v_0} \begin{cases} v_{0x}=v_0.\cos(\alpha) \\ v_{0y}=v_0.\sin(\alpha) \end{cases}

On vient d’exploiter les données connues aux conditions initiales du système.
On sait qu’à t = 0 seconde, la balle file à une vitesse {v_0}, avec un trajectoire qui est inclinée d’un angle α, dans le sens de la flèche du vecteur vitesse {v_0}.


Bon, c’est un secret pour personne, on sait bien que la balle va finir par redescendre et terminer sa trajectoire sur le sol. Mais comment ça se fait ? Qu’est-ce qui la force à redescendre ?

Le bilan des forces extérieures

Quand Elliot frappe la balle, il applique une force sur cette dernière, mais celle-ci ne s’applique plus une fois que la balle perd le contact avec la raquette. C’est à ce moment précis que notre expérience commence. À cet instant, ce fameux t = 0, est-ce que la balle est soumise à des forces extérieures ?


Faisons le bilan des forces sur notre repère (je rappelle que nous négligeons tous les frottements – donc ceux de l’air) :

Les forces extérieures qui agissent sur la balle

Comme vous pouvez le constater, il n’y a qu’une seule force qui agit sur la balle, c’est son poids noté \vec{P}.
Le poids d’un objet équivaut à sa masse m, multiplié par l’accélération de la pesanteur \vec{g} (merci Newton), qui vaut environ 9,8 m/s^2 :

\vec{p} = m.\vec{g}

Vous ne savez que faire de cette force \vec{P} ? Demandez à Newton.

Le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

Newton a énoncé le PFD en 1687. Il dit la chose suivante : la somme des forces extérieures – notée \sum \vec{F}_{ext} – appliquées à un corps est égale sa masse m, multipliée par son accélération, notée \vec{a} :

\sum \vec{F}_{ext} = m.\vec{a}

Remplaçons dans l’équation l’unique force extérieure appliquée à la balle, c’est à dire son poids :

\vec{p}= m.\vec{a}

Mais grâce à Newton on connaît la valeur de \vec{p}, donc on remplace :

m.\vec{g} = m.\vec{a}

Et clac ! On peut simplifier notre équation par m :

\cancel{m}.\vec{g}=\cancel{m}.\vec{a}

On se retrouve avec un vecteur accélération \vec{a} qui est égal à l’accélération de la pesanteur \vec{g} :

\vec{a}=\vec{g}

On peut même en déduire la norme du vecteur \vec{a}, en supprimant les composantes vectorielles :

{a}={g}

Maintenant qu’on connaît le vecteur accélération \vec{a} – sa direction, son sens et sa norme – on peut le dessiner sur notre schéma :

Le vecteur Vitesse et le vecteur Accélération

Résumons. On a les coordonnées du vecteur Vitesse \vec{v}_{0} au départ du service d’Elliot (a t = 0), et on a également le vecteur accélération \vec{a}.
Ce qu’on ne sait pas en revanche, c’est de combien la balle accélère sur x et sur y !

Les coordonnées du vecteur accélération


Il faut donc calculer les coordonnées du vecteur accélération, {a_x} et {a_y}.
C’est le même procédé que pour le vecteur vitesse, il faut projeter le vecteur accélération sur l’axe x et sur l’axe y. Cependant les calculs seront plus simples car :
– Le vecteur \vec{a} est perpendiculaire à l’axe x, donc son projeté sur x vaut 0.
– Le vecteur \vec{a} est parallèle à l’axe y, donc son projeté sur y équivaut à la longueur totale du vecteur \vec{a}, en ajoutant le signe moins car le sens du vecteur est opposé au sens de l’axe y.

\vec{a} \begin{cases} a_{x}=0 \\ a_{y}=-g \end{cases}

En fait il n’y avait pas vraiment de calcul, c’est juste du bon sens. En plus ici on a les valeurs du vecteur accélération à tout instant !
Je m’explique:
comme on vient de le voir, la balle subit une accélération à cause de la gravité terrestre \vec{g}. Or celle-ci ne va pas changer ou pire, disparaître ! (à moins qu’Elliot ne tire assez fort pour envoyer la balle en orbite, mais c’est une autre histoire…) Elle restera la même tout au long de la trajectoire de la balle. On connaît donc la valeur de l’accélération de la balle tout au long de sa trajectoire. Que peut-on en déduire ?

Variations de vitesse


On a la vitesse initiale \vec{v}_{0}, et on a l’accélération \vec{a} que subit la balle, à tout instant.
Ce qu’il nous faut maintenant, c’est la vitesse de la balle, à tout instant !
En fait il faut savoir comment la vitesse de la balle varie dans le temps. Est-ce qu’elle perd de la vitesse, est-ce qu’elle en gagne ? Dans quel sens, à quel moment ?
Les variations du vecteur vitesse donnent les réponses à ces questions. Mais en réalité, c’est quoi une variation de vitesse ?


Explications par l’exemple : vous êtes en voiture sur l’autoroute. Il pleut, et vous savez que vous avez les pneus plus lisses que le crane de Dwayne Johnson, donc vous roulez à 110 km/h, pépère.
Soudainement, il s’arrête de pleuvoir. Vous appuyez alors un peu plus fort sur la pédale de droite, et vous vous retrouvez à 130 km/h.
Grâce à l’accélération vous avez fait varier votre vitesse de 110 à 130 km/h. Bien ouej les gars.


Dans notre cas, ce qui va faire varier la vitesse de la balle de tennis, c’est cette fichue gravité.
On a défini ce qu’était une variation de vitesse et ce qui en était à l’origine. Mais comment faire pour la calculer ?

Calcul des variations


Si on calcule les variations de la vitesse de la balle de tennis, on obtient son accélération. Pour faire ça mathématiquement, on utilise les dérivées.
Calculez la dérivée du vecteur vitesse en fonction du temps, et vous obtenez l’accélération.

Certes, me direz vous. Sauf que nous on a déjà l’accélération, on veut les variations de la vitesse…
Et bien figurez vous qu’il existe l’opération inverse ! À partir de l’accélération, on peut retrouver la vitesse !
On dit alors qu’on calcule une primitive :

Opérations pour obtenir la vitesse en fonction de l’accélération (et inversement)

Très bien, utilisons cet outil mathématique pour déterminer les variations de la vitesse.
Je rappelle les coordonnées du vecteur accélération \vec{a} :

\vec{a} \begin{cases} a_{x}=0 \\ a_{y}=-g \end{cases}

On calcule donc les primitives de a_{x} et a_{y}, ce qui nous donne les coordonnées du vecteur vitesse, v_{x} et v_{y} :

\vec{v} \begin{cases} v_x={C_1} \\ x_y=-g.t + {C_2} \end{cases}

{C_1} et {C_2} sont des constantes (des variables dont les valeurs resteront les mêmes tout au long de la trajectoire de la balle).
Mais comment trouver les valeurs de ces constantes ? Comme elles ne varient pas au cours du temps, il suffirait de connaître leurs valeurs à un seul instant, et on pourrait calculer nos constantes.
Et bien c’est le cas ! On connaît les coordonnées v{x} et v{y} de notre vecteur vitesse à t = 0:

\vec{v_0} \begin{cases} v_{0x}=v_0.\cos(\alpha) \\ v_{0y}=v_0.\sin(\alpha) \end{cases}

Ce qui nous permet de calculer la valeur de {C_1} et {C_2} :

\vec{v_0} \begin{cases} v_{0x} = v_0.\cos(\alpha) = {C1} \\ v_{0y} = v_0.\sin(\alpha) = -g.t + C2 \end{cases}

On remplace donc t par 0 :

\vec{v_0} \begin{cases} v_{0x} = v_0.\cos(\alpha) = {C1} \\ v_{0y} = v_0.\sin(\alpha) = -g \bm{\times 0} + {C_2} \end{cases}

-g x 0 ça fait 0, ce qui donne :

{C_1} = v_0.\cos(\alpha) \\ {C_2} = v_0.\sin(\alpha)

On a déterminé les valeurs de nos constantes !
Il suffit de les remplacer par les valeurs qu’on vient de trouver dans les équations des coordonnées du vecteur vitesse :

\vec{v} \begin{cases} {v_x} = v_0.\cos(\alpha) \\ {v_y} = -g.t + v_0.\sin(\alpha) \end{cases}

Et voilà, on a les coordonnées de notre vecteur vitesse \vec{v} à tout instant.

Le vecteur position

On arrive presque au bout les amis. On sait exactement comment va varier la vitesse de notre balle de tennis au cours du temps.
Je rappelle pour ceux du fond que le but de l’exercice est de déterminer la position de la balle en fonction du temps. Autrement dit il nous faut les coordonnées de la balle sur x et sur y, en fonction du temps t. Donc en fait il nous faut les variations de la position de la balle au cours du temps.
Encore des variations ! La vitesse, ce n’est rien d’autre que les variations de la position.
En fait il faut déterminer les coordonnées du vecteur position. Et oui, encore un vecteur. Mais bon on commence à comprendre comment ça marche (enfin j’espère !).

Ce vecteur position, on va l’appeler \overrightarrow{OB}, car il représente la distance entre l’ordonnée à l’origine O, et le centre de gravité de la balle B. D’ailleurs, on connaît sa valeur, à t = 0. Dessinons le sur notre schéma :

Vecteur position, à t =0.

Ça, c’est le vecteur position à t = 0.
Même problème que pour le vecteur vitesse, on souhaite connaître les coordonnées du vecteur position, à tout instant.

C’est le même principe, si on reprend l’exemple de notre voiture, quand vous roulez à 130 km/h, vous vous déplacez. Vous faites donc varier votre position.
On va donc utiliser le même outil mathématique :

Opérations pour obtenir la position en fonction de la vitesse (et inversement)

Il faut calculer une primitive du vecteur vitesse. Je rappelle les coordonnées du vecteur vitesse :

\vec{v} \begin{cases} {v_x} = v_0.\cos(\alpha) \\ {v_y} = -g.t + v_0.\sin(\alpha) \end{cases}

On calcule une primitive :

\overrightarrow{OB} \begin{cases} x=v_0.\cos(\alpha).t + {C_3} \\ y=-\dfrac{1}{2}.g.t^2 + v_0.\sin(\alpha).t + {C_4} \end{cases}

Même schéma, on utilise les conditions initiales pour déterminer les valeurs des deux nouvelles constantes, {C_3} et {C_4} :

\overrightarrow{OB_0} \begin{cases} x_0 = 0 \\ y_0 = h \textrm{ , la distance entre le sol et la balle au départ} \end{cases}

Ce qui nous permet de calculer les valeurs des constantes {C_3} et {C_4}, en remplaçant les variables par leurs valeurs à t par 0, comme on a fait pour calculer les valeurs de {C_1} et {C_2} :

\overrightarrow{OB_0} \begin{cases} x_0 = 0 = v_0.\cos(\alpha).t + C3 \\ y_0 = h = -\dfrac{1}{2}.g.t^2 + v_0.\sin(\alpha).t + {C_4} \end{cases}

On remplace t par 0 :

\overrightarrow{OB_0} \begin{cases} x_0 = 0 = v_0.\cos(\alpha) \bm{\times 0} + C3 \\ y_0 = h = -\dfrac{1}{2}.g\bm{\times 0^2} + v_0.\sin(\alpha) \bm{\times 0} + {C_4} \end{cases}

Et voici les valeurs de nos deux constantes {C_3} et {C_4} :

\begin{cases} C_3 = 0 \\ C_4 = h \end{cases}

On remplace la valeur de nos constantes {C_3} et {C_4} :

\overrightarrow{OB} \begin{cases} x = v_0.\cos(\alpha).t \\ y = -\dfrac{1}{2}.g.t^2 + v_0.\sin(\alpha).t + h \end{cases}

Et voilà ! on a les équations horaires de la balle \o/ :

\begin{cases} x(t) = v_0.\cos(\alpha).t \\ y(t) = -\dfrac{1}{2}.g.t^2 + v_0.\sin(\alpha).t + h \end{cases}